Н. Макарова

 

НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть X

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty10.htm

 

 

Как здорово, когда начинаешь понимать глубинную суть исследуемого предмета! Неискушённому читателю может показаться, что я пошла по второму кругу. Нет, я иду по крутой спирали, постигая на каждом её витке необыкновенную гармонию магических квадратов.

 

Пандиагональные квадраты 7-го порядка, конечно, были уже построены и исследованы. Построены также идеальные квадраты данного порядка разными методами, в том числе и методом латинских квадратов. Но в тот момент, когда я впервые строила пандиагональные квадраты этого порядка, совсем ничего не знала о методе латинских квадратов. И хотя на той веб-странице, которой я пользовалась, используется именно метод латинских квадратов (о чём я, конечно, всё же догадалась по английскому тексту статьи), но действовала я вслепую, основываясь на догадке, на приведённых картинках. Вот ссылка на указанную веб-страницу:

 

http://www.grogono.com/magic/7x7.php

 

Теперь всё стало абсолютно понятно. Группа MOLS 7-го порядка состоит из шести квадратов. Два из них недиагональные. Из оставшихся четырёх диагональных латинских квадратов образуем шесть пар ОЛК. Все эти пары будут уникальные, то есть неизоморфные. Эти шесть пар ОЛК и приведены на указанной веб-странице в символьном виде. Я приведу эти пары ОЛК в числовом виде (рис. 1 – 6).

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Все эти пары ОЛК состоят из латинских квадратов, которые являются нетрадиционными пандиагональными магическими квадратами с магической константой 21. Однако идеальных квадратов среди них нет. Точно так же, как в случае с порядком 5, каждая их этих пар может быть преобразована с помощью трансформации тождественной перестановки чисел 0, 1, 2, …, 6. Чтобы уменьшить число вариантов, будем считать латинские квадраты, начинающиеся с числа 0, эти квадраты будут давать магические квадраты, начинающиеся с числа 1. Все остальные пандиагональные магические квадраты получаются из таких квадратов параллельным переносом на торе. Итак, для каждой из приведённых пар ОЛК имеем: первый латинский квадрат 720 вариантов, второй латинский квадрат тоже 720 вариантов, итого 518400 пар ОЛК. Видимо, эта группа также содержит 4 подгруппы, состоящие из эквивалентных квадратов, потому что в указанной выше статье далее идёт такой подсчёт: 6 х 518400/4 = 777600 уникальных квадратов. Почему умножается на 6, понятно: у нас шесть разных пар ОЛК. Теперь берутся все варианты торических переносов (их для порядка 7, как известно, 49) и все варианты, получаемые основными преобразованиями, и получается общее количество пандиагональных квадратов 7-го порядка: 777600 х 49 х 8 = 304819200. Эти пандиагональные квадраты называются в статье регулярными (regular). Далее в статье рассматриваются ещё нерегулярные (irregular) пандиагональные квадраты. Расскажу об этих квадратах дальше.

А сейчас покажу пандиагональный магический квадрат, построенный из пары ОЛК, изображённой на рис. 1 (см. рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Однако непонятно, почему автор статьи не рассматривает вторую группу пандиагональных магических квадратов, построенную из каждой пары ОЛК, если поменять местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Ведь в отличие от квадратов порядка 5 здесь квадраты этих двух групп не эквивалентны. На рис. 7а показан второй магический квадрат, построенный из пары ОЛК с рис. 1, если поменять местами латинские квадраты.

 

 

Рис. 7а

 

Сравнив эти два магических квадрата, видим, что у них совпадает первая строка, а в остальных строках имеются одинаковые наборы чисел. Однако квадраты не являются эквивалентными. Следовательно, мы имеем две группы пандиагональных магических квадратов для каждой пары ОЛК, и поэтому подсчитанное в указанной статье количество уникальных регулярных пандиагональных квадратов 7-го порядка надо удвоить.

 

Преобразуем первый латинский квадрат в паре ОЛК с рис. 1 (на рисунке этот квадрат изображён слева) с помощью, например, такой (произвольно выбранной) трансформации тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6

0  3  5  1  4  2  6

 

На рис. 8 изображён преобразованный латинский квадрат.

 

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат не изменяем. Построим пандиагональный магический квадрат из новой пары ОЛК (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

На рис. 10 показана матрица комбинированного преобразования “плюс-минус …”, связывающего эти два пандиагональных магических квадрата.

 

 

Рис. 10

 

Симпатичное преобразование! Замечу, что преобразованиями “плюс-минус …” связаны только магические квадраты, построенные из различных изоморфных вариантов одной и той же пары ОЛК. А вот магические квадраты, построенные из разных (неизоморфных) пар ОЛК такими преобразованиями не связаны.

 

Далее показываю пару ОЛК, которую я сочинила для построения идеальных магических квадратов 7-го порядка (рис. 11 – 12).

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 11

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 12

 

В этой паре второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Подробнее о построении идеальных магических квадратов нечётного порядка не кратного 3 методом латинских квадратов смотрите в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm

Данный алгоритм запрограммирован, в указанной статье приведена программа, написанная на языке QBASIC.

 

Теперь перехожу к нерегулярным пандиагональным квадратам 7-го порядка. При первом знакомстве с указанной выше статьёй я эти квадраты на стала внимательно рассматривать, а сейчас взглянула на них с большим интересом. Приведено несколько примеров построения пандиагональных магических квадратов из неких конкретных пар ОЛК. Одну из этих пар ОЛК вы видите на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Интересное сочетание: первый латинский квадрат – классический квадрат (он содержится в приведённых выше парах ОЛК), второй латинский квадрат – обобщённый, однако он тоже является нетрадиционным пандиагональным магическим квадратом с магической константой 21. Эта пара в статье названа “semi-irregular”, то есть “полу-нерегулярная”.

На рис. 14 показан пандиагональный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 14

 

Покажу и второй пандиагональный магический квадрат, построенный из этой пары ОЛК (латинские квадраты поменялись местами в формуле для построения магического квадрата) [рис. 15].

 

 

Рис. 15

 

В квадрате на рис. 14 начальная цепочка имеет правильную форму “ход конём”, а в квадрате на рис. 15 правильность формы начальной цепочки нарушилась. Тем не менее, квадрат тоже пандиагональный.

 

Интересно отметить, что в этой паре ОЛК ко второму латинскому квадрату нельзя применять преобразование трансформации тождественной перестановки чисел. Преобразуем первый латинский квадрат с помощью, например, такой трансформации (циклический сдвиг):

 

0  1  2  3  4  5  6

1  2  3  4  5  6  0

 

На рис. 16 показан преобразованный латинский квадрат.

 

 

Рис. 16

 

Второй латинский квадрат не изменяем. На рис. 17 вы видите пандиагональный магический квадрат, построенный из вновь образованной пары ОЛК, которая изоморфна исходной паре.

 

 

Рис. 17

 

Как и следовало ожидать, этот квадрат связан с квадратом с рис. 14 комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Матрицу этого преобразования вы видите на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Здесь баланс ещё более великолепен: в каждой строке, в каждом столбце и во всех диагоналях (главных и разломанных) прибавляется шесть семёрок и это компенсируется вычитанием числа 42. В результате преобразование превращает пандиагональный квадрат в пандиагональный.

Предлагаю читателям построить из преобразованной пары ОЛК второй пандиагональный магический квадрат и сравнить его с квадратом, изображённым на рис. 15.

 

В заключение покажу ещё один пример построения нерегулярных пандиагональных магических квадратов 7-го порядка из указанной статьи. В этом примере используется пара ОЛК, состоящая из классических латинских квадратов (см. рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Очень интересная пара! Она аналогична паре ОЛК 5-го порядка, рассмотренной в предыдущей статье, в том смысле, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали. Разумеется, пару можно привести к нормализованному виду, то есть поместить в первой строке первого латинского квадрата тождественную перестановку чисел. Это достигается преобразованием трансформации тождественной перестановки чисел. Тогда пара примет такой вид (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Вспоминаю, что совсем недавно, исследуя пары ОЛК, я получила аналогичную пару в статье “Новые аспекты метода латинских квадратов (часть V)” [http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty4.htm ]. Более того, полученная мной пара ОЛК состоит из нетрадиционных идеальных магических квадратов, то есть они не только пандиагональные, но и ассоциативные. Смотрите на эту замечательную пару (копирую её из указанной статьи) [рис. 21]:

 

 

Рис. 21

 

Легко видеть, что полученная мной пара ОЛК изоморфна паре из цитируемой статьи. Моя пара превращается в пару с рис. 20 с помощью следующей трансформации тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6

0  4  1  5  2  6  3

 

Отмечу, что в цитируемой статье приведённая пара ОЛК (см. рис. 19) каким-то образом исследуется, но я не поняла, что там с нею делается. Предлагаю читателям разобраться в этом самостоятельно.

 

И напоследок: построим пандиагональный магический квадрат из пары ОЛК с рис. 20 и идеальный магический квадрат из пары ОЛК с рис. 21. Эти квадраты показаны на рис. 22 и рис. 23.

 

 

Рис. 22

 

 

Рис. 23

 

Получается, что пандиагональный квадрат, которому не хватает ассоциативности, мы можем “подправить” комбинированным преобразованием “плюс-минус …”, матрицу которого вы видите на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Интересная симметрия в этом преобразовании. Вряд ли кто-нибудь смог бы “подправить” пандиагональный квадрат с рис. 22, не имея матрицы преобразования “плюс-минус …”.

 

 

11 - 12 марта 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу