Н. Макарова
НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Часть IX
Посмотрим на построение пандиагональных магических квадратов 5-го порядка с точки зрения метода латинских квадратов. Очень интересные открываются факты! Напомню, что построение пандиагональных магических квадратов 5-го порядка – это тема, с которой началась моя работа с магическими квадратами после очень большого перерыва (13 лет). Я строила эти квадраты очень долго, ещё ничего не зная о методе латинских квадратов. Построив все 144 базовых квадрата, я доказала, что самый базовый - единственный квадрат, который является не только пандиагональным, но и идеальным. Остальные 143 квадрата получаются из этого базового квадрата с помощью различных преобразований, среди которых такие (открытые мной) преобразования, как “строки-диагонали” и “плюс-минус …”. Вот теперь и посмотрим на этот базовый квадрат с точки зрения метода латинских квадратов (см. рис. 1).
|
1 |
23 |
10 |
14 |
17 |
|
15 |
19 |
2 |
21 |
8 |
|
22 |
6 |
13 |
20 |
4 |
|
18 |
5 |
24 |
7 |
11 |
|
9 |
12 |
16 |
3 |
25 |
Рис. 1
Разложим этот магический квадрат на пару ортогональных латинских квадратов, они изображены на рис. 2.
|
0 |
4 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
2 |
4 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
0 |
4 |
1 |
4 |
3 |
1 |
0 |
2 |
|
|
4 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
2 |
4 |
3 |
|
|
3 |
0 |
4 |
1 |
2 |
2 |
4 |
3 |
1 |
0 |
|
|
1 |
2 |
3 |
0 |
4 |
3 |
1 |
0 |
2 |
4 |
Рис. 2
Эта пара ОЛК состоит из латинских квадратов, каждый из которых является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 10. И оказывается, в самом деле, все пандиагональные магические квадраты 5-го порядка получаются методом латинских квадратов именно из этой пары ОЛК, которая соответствует базовому магическому квадрату с рис. 1. Просто к данной паре ОЛК применяется преобразование трансформации тождественной перестановки чисел 0, 1, 2, 3, 4. А теперь посчитаем, сколько пар ОЛК мы получим с помощью такого преобразования: 120 вариантов первого латинского квадрата и 120 вариантов второго латинского квадрата, итого получается 14400 вариантов пар ОЛК. И точно столько же будет построено пандиагональных магических квадратов. Очевидно, что трансформация тождественной перестановки чисел сохраняет пандиагональность обоих латинских квадратов в данной паре ОЛК. А вот ассоциативность во многих случаях нарушается. Поэтому не все построенные пандиагональные квадраты будут идеальными (как известно, идеальных квадратов 5-го порядка всего 16). Мы знаем, что пандиагональных квадратов 5-го порядка 3600 (с учётом основных преобразований). Следовательно, в группе из 14400 будут четыре подгруппы эквивалентных квадратов.
Следует отметить, что второй магический квадрат, получающийся из данной пары ОЛК путём перестановки латинских квадратов в формуле для построения магических квадратов, является эквивалентным магическому квадрату с рис. 1, поэтому мы не будем рассматривать вторую группу магических квадратов, которая тоже состоит из 14400 квадратов. Это вполне понятно: ведь второй латинский квадрат в данной паре ОЛК получается из первого отражением относительно главной диагонали, то есть одним из основных преобразований.
Вот как всё оказалось просто! И теперь мне понятна природа преобразования “плюс-минус …”. Оказывается, абсолютно все пандиагональные квадраты 5-го порядка связаны между собой преобразованием такого вида. И природа этих преобразований именно в изоморфности пар ОЛК, из которых строятся все пандиагональные квадраты 5-го порядка. Приведу примеры. Применим к первому латинскому квадрату пары ОЛК с рис. 2 следующее преобразование трансформации тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
а второй латинский квадрат оставим без изменения. Преобразованный первый латинский квадрат вы видите на рис. 3.
|
1 |
0 |
2 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
0 |
2 |
|
0 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
0 |
Рис. 3
Теперь построим магический квадрат из новой пары ОЛК (рис. 4):
|
6 |
3 |
15 |
19 |
22 |
|
20 |
24 |
7 |
1 |
13 |
|
2 |
11 |
18 |
25 |
9 |
|
23 |
10 |
4 |
12 |
16 |
|
14 |
17 |
21 |
8 |
5 |
Рис. 4
А вот комбинированное преобразование “плюс-минус …”, связывающее этот пандиагональный магический квадрат с базовым магическим квадратом с рис. 1 (рис. 5):
|
+5 |
-20 |
+5 |
+5 |
+5 |
|
+5 |
+5 |
+5 |
-20 |
+5 |
|
-20 |
+5 |
+5 |
+5 |
+5 |
|
+5 |
+5 |
-20 |
+5 |
+5 |
|
+5 |
+5 |
+5 |
+5 |
-20 |
Рис. 5
Ещё один пример, иллюстрирующий преобразование “строки-диагонали”. Оказывается, данное преобразование является частным случаем преобразования “плюс-минус …”. Но всё по порядку. Преобразуем оба латинских квадрата в паре ОЛК с рис. 2. Для первого латинского квадрата выполним такую трансформацию тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4
0 2 1 4 3
На рис. 6 изображён полученный в результате этого преобразования латинский квадрат.
|
0 |
3 |
2 |
1 |
4 |
|
1 |
4 |
0 |
3 |
2 |
|
3 |
2 |
1 |
4 |
0 |
|
4 |
0 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
4 |
0 |
3 |
Рис. 6
Для второго латинского квадрата выполним такую трансформацию тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4
0 3 4 2 1
На рис. 7 изображён преобразованный второй латинский квадрат.
|
0 |
4 |
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
0 |
4 |
|
3 |
0 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
3 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
4 |
1 |
Рис. 7
Построим из новой пары ОЛК магический квадрат (рис. 8):
|
1 |
20 |
12 |
8 |
24 |
|
7 |
23 |
4 |
16 |
15 |
|
19 |
11 |
10 |
22 |
3 |
|
25 |
2 |
18 |
14 |
6 |
|
13 |
9 |
21 |
5 |
17 |
Рис. 8
Этот пандиагональный магический квадрат связан с базовым квадратом с рис. 1 преобразованием “строки-диагонали”. Но эти квадраты связаны также и преобразованием “плюс-минус …”, как и все квадраты, полученные из преобразованной пары ОЛК, соответствующей базовому квадрату. Следовательно, преобразование “строки-диагонали” является частным случаем преобразования “плюс-минус …”. На рис. 9 вы видите матрицу комбинированного преобразования “плюс-минус …”, связывающего квадрат с рис 8 с базовым квадратом.
|
|
-3 |
+2 |
-6 |
+7 |
|
-8 |
+4 |
+2 |
-5 |
+7 |
|
-3 |
+5 |
-3 |
+2 |
-1 |
|
+7 |
-3 |
-6 |
+7 |
-5 |
|
+4 |
-3 |
+5 |
+2 |
-8 |
Рис. 9
Вот такая сложная комбинация, тем не менее, она переводит базовый квадрат в квадрат, изображённый на рис. 8.
Таким образом, можно сказать, что с учётом преобразований “плюс-минус …” пандиагональный квадрат 5-го порядка всего один. Вы видите его на рис. 1. А на рис. 2 изображена пара ОЛК, соответствующая базовому квадрату. Преобразуя эту пару с помощью трансформации тождественной перестановки чисел, мы построим из получающихся изоморфных пар ОЛК все пандиагональные квадраты 5-го порядка.
Разумеется, такая связь магических квадратов, построенных из изоморфных пар ОЛК, имеет место не только для пандиагональных магических квадратов. Рассмотрим пример. Возьмём другую пару ОЛК 5-го порядка, изображённую на рис. 10. Легко видеть, что данная пара ОЛК неизоморфна рассмотренной выше паре ОЛК.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
4 |
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
0 |
4 |
2 |
3 |
0 |
1 |
|
|
1 |
3 |
0 |
4 |
2 |
2 |
0 |
4 |
1 |
3 |
|
|
2 |
0 |
4 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0 |
4 |
2 |
Рис. 10
Магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК (рис. 11):
|
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
|
24 |
15 |
17 |
3 |
6 |
|
20 |
23 |
9 |
11 |
2 |
|
8 |
16 |
5 |
22 |
14 |
|
12 |
4 |
21 |
10 |
18 |
Рис. 11
Очевидно, что этот магический квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами, самый обычный магический квадрат.
Теперь выполним в первом латинском квадрате следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
Получим такой латинский квадрат (рис. 12):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
|
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
0 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
4 |
1 |
0 |
3 |
|
3 |
1 |
0 |
2 |
4 |
Рис. 12
Второй латинский квадрат не изменяем. Строим магический квадрат из новой (изоморфной) пары ОЛК (рис. 13):
|
6 |
12 |
18 |
24 |
5 |
|
4 |
20 |
22 |
8 |
11 |
|
25 |
3 |
14 |
16 |
7 |
|
13 |
21 |
10 |
2 |
19 |
|
17 |
9 |
1 |
15 |
23 |
Рис. 13
Далее показана матрица комбинированного преобразования “плюс-минус …” (рис. 14), связывающего магические квадраты с рис. 11 и с рис. 13.
|
+5 |
+5 |
+5 |
+5 |
-20 |
|
-20 |
+5 |
+5 |
+5 |
+5 |
|
+5 |
-20 |
+5 |
+5 |
+5 |
|
+5 |
+5 |
+5 |
-20 |
+5 |
|
+5 |
+5 |
-20 |
+5 |
+5 |
Рис. 14
Выполним точно такое же преобразование во втором латинском квадрате (рис. 15):
|
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
|
4 |
0 |
2 |
3 |
1 |
|
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
0 |
2 |
4 |
|
2 |
4 |
1 |
0 |
3 |
Рис. 15
Построим магический квадрат из новой пары ОЛК, составленной из преобразованных латинских квадратов. Понятно, что это тоже изоморфная пара ОЛК. Новый магический квадрат изображён на рис. 16.
|
7 |
13 |
19 |
25 |
1 |
|
5 |
16 |
23 |
9 |
12 |
|
21 |
4 |
15 |
17 |
8 |
|
14 |
22 |
6 |
3 |
20 |
|
18 |
10 |
2 |
11 |
24 |
Рис. 16
А это матрица комбинированного преобразования “плюс-минус …” (рис. 17), связывающего магические квадраты с рис. 11 и с рис. 16.
|
+6 |
+6 |
+6 |
+6 |
-24 |
|
-19 |
+1 |
+6 |
+6 |
+6 |
|
+1 |
-19 |
+6 |
+6 |
+6 |
|
+6 |
+6 |
+1 |
-19 |
+6 |
|
+6 |
+6 |
-19 |
+1 |
+6 |
Рис. 17
Возьмём, наконец, третью пару ОЛК, построенную методом Делаира (рис. 18).
|
2 |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
0 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
4 |
2 |
0 |
1 |
3 |
1 |
3 |
4 |
2 |
0 |
|
|
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
3 |
4 |
2 |
0 |
1 |
|
|
1 |
3 |
4 |
2 |
0 |
4 |
2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
0 |
1 |
3 |
4 |
2 |
2 |
0 |
1 |
3 |
4 |
Рис. 18
Это существенно новая пара ОЛК неизоморфная рассмотренным выше парам. Здесь можно выполнять только такие трансформации тождественной перестановки чисел, которые не изменяют диагонали, состоящие из числа 2, иначе латинские квадраты не будут нетрадиционными магическими квадратами. Сначала построим магический квадрат из данной пары ОЛК (рис. 19):
|
11 |
2 |
9 |
20 |
23 |
|
22 |
14 |
5 |
8 |
16 |
|
19 |
25 |
13 |
1 |
7 |
|
10 |
18 |
21 |
12 |
4 |
|
3 |
6 |
17 |
24 |
15 |
Рис. 19
А теперь преобразуем первый латинский квадрат в паре ОЛК, оставив второй квадрат без изменения. Применим следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4
1 0 2 4 3
Преобразованный первый латинский квадрат показан на рис. 20.
|
2 |
1 |
0 |
4 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
4 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
1 |
0 |
4 |
3 |
2 |
Рис. 20
Строим новый магический квадрат из полученной изоморфной пары ОЛК (рис. 21).
|
11 |
7 |
4 |
25 |
18 |
|
17 |
14 |
10 |
3 |
21 |
|
24 |
20 |
13 |
6 |
2 |
|
5 |
23 |
16 |
12 |
9 |
|
8 |
1 |
22 |
19 |
15 |
Рис. 21
Показываю матрицу простого преобразования “плюс-минус 5”, связывающего эти два магических квадрата (рис. 22):
|
|
+5 |
-5 |
+5 |
-5 |
|
-5 |
|
+5 |
-5 |
+5 |
|
+5 |
-5 |
|
+5 |
-5 |
|
-5 |
+5 |
-5 |
|
+5 |
|
+5 |
-5 |
+5 |
-5 |
|
Рис. 22
Очевидно: преобразование выбрано так, что сохранилась ассоциативность магического квадрата. Однако не всегда ассоциативность будет сохраняться. Предлагаю читателям выполнить преобразование второго латинского квадрата и построить новый магический квадрат, а затем посмотреть на матрицу преобразования “плюс-минус …”, связывающего новый магический квадрат с уже построенными квадратами.
В заключение приведу пример для квадратов другого порядка, например, 9-го. На рис. 23 вы видите пару диагональных ОЛК 9-го порядка.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
3 |
7 |
8 |
6 |
1 |
2 |
0 |
|
|
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
8 |
6 |
7 |
2 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
|
|
7 |
8 |
6 |
1 |
2 |
0 |
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
0 |
4 |
5 |
3 |
7 |
8 |
6 |
|
|
1 |
2 |
0 |
4 |
5 |
3 |
7 |
8 |
6 |
5 |
3 |
4 |
8 |
6 |
7 |
2 |
0 |
1 |
|
|
4 |
5 |
3 |
7 |
8 |
6 |
1 |
2 |
0 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
5 |
3 |
4 |
8 |
6 |
7 |
2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
8 |
6 |
7 |
|
|
8 |
6 |
7 |
2 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
|
|
2 |
0 |
1 |
5 |
3 |
4 |
8 |
6 |
7 |
7 |
8 |
6 |
1 |
2 |
0 |
4 |
5 |
3 |
Рис. 23
На рис. 24 изображён магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.
|
1 |
11 |
21 |
31 |
41 |
51 |
61 |
71 |
81 |
|
32 |
42 |
49 |
62 |
72 |
79 |
2 |
12 |
19 |
|
63 |
70 |
80 |
3 |
10 |
20 |
33 |
40 |
50 |
|
65 |
75 |
55 |
14 |
24 |
4 |
44 |
54 |
34 |
|
15 |
22 |
5 |
45 |
52 |
35 |
66 |
73 |
56 |
|
43 |
53 |
36 |
64 |
74 |
57 |
13 |
23 |
6 |
|
48 |
28 |
38 |
78 |
58 |
68 |
27 |
7 |
17 |
|
76 |
59 |
69 |
25 |
8 |
18 |
46 |
29 |
39 |
|
26 |
9 |
16 |
47 |
30 |
37 |
77 |
60 |
67 |
Рис. 24
Теперь преобразуем первый латинский квадрат (изображён на рис. 23 слева) с помощью следующей трансформации тождественной перестановки чисел:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 0
На рис. 25 показан преобразованный латинский квадрат.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
8 |
0 |
7 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
|
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
4 |
8 |
0 |
7 |
|
5 |
6 |
4 |
8 |
0 |
7 |
2 |
3 |
1 |
|
6 |
4 |
5 |
0 |
7 |
8 |
3 |
1 |
2 |
|
0 |
7 |
8 |
3 |
1 |
2 |
6 |
4 |
5 |
|
3 |
1 |
2 |
6 |
4 |
5 |
0 |
7 |
8 |
Рис. 25
Второй латинский квадрат оставим без изменения. Построим магический квадрат из новой изоморфной пары ОЛК (рис. 26).
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
9 |
|
41 |
51 |
58 |
71 |
81 |
7 |
11 |
21 |
28 |
|
72 |
79 |
8 |
12 |
19 |
29 |
42 |
49 |
59 |
|
74 |
3 |
64 |
23 |
33 |
13 |
53 |
63 |
43 |
|
24 |
31 |
14 |
54 |
61 |
44 |
75 |
1 |
65 |
|
52 |
62 |
45 |
73 |
2 |
66 |
22 |
32 |
15 |
|
57 |
37 |
47 |
6 |
67 |
77 |
36 |
16 |
26 |
|
4 |
68 |
78 |
34 |
17 |
27 |
55 |
38 |
48 |
|
35 |
18 |
25 |
56 |
39 |
46 |
5 |
69 |
76 |
Рис. 26
Посмотрите на матрицу комбинированного преобразования "плюс-минус ...", превращающего квадрат с рис. 24 в квадрат с рис. 26:
|
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
|
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
|
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
-72 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
|
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
+9 |
-72 |
+9 |
+9 |
Рис. 27
Замечательный баланс! В каждой строке, в каждом столбце и в каждой главной диагонали прибавляется восемь девяток и это компенсируется вычитанием числа 72. В результате всё по нулям.
Далее я посмотрела на пандиагональные квадраты 7-го порядка с точки зрения метода латинских квадратов. Читайте об этом следующую страницу:
http://www.natalimak1/narod.ru/aspekty11.htm
Не открывайте страницу сегодня, я её ещё не написала J . Приходите завтра!
11 марта 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
