НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Глава 1. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ (часть II)

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty.htm   

 

В предыдущей части статьи были показаны различные группы и пары ОЛК до порядка 10 включительно. Продолжу рассмотрение вопроса об ОЛК для чётно-нечётных порядков. В книге М. Гарднера “Математические досуги” (М.: Мир, 1972) говорится, что после того, как Э. Т. Паркер в 1958 году построил греко-латинский квадрат 10-го порядка, Боус нашёл некоторые общие правила построения греко-латинских квадратов. Паркер, Боус и Шрикхенд (говорится в книге) составили греко-латинские квадраты порядков 10, 14, 18, 22 и так далее. Однако  греко-латинские квадраты порядков 14 и 18 я нигде не встречала. Неизвестны мне и общие правила построения греко-латинских квадратов любого чётно-нечётного порядка, хотя очень хочется узнать эти правила.

В статье “Three mutually orthogonal idempotent Latin squares of orders 22 and 26” (R. J. R Abel и другие) нашла группу из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 22-го порядка. Хотя в названии статьи говорится о порядках 22 и 26, однако квадратов 26-го порядка я не увидела. Может быть, в статье приводится метод составления таких ОЛК для порядков 22 и 26, а квадраты приведены только порядка 22. Покажу эту группу взаимно ортогональных латинских квадратов 22-го порядка (рис. 1 – 3).

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

Примечание: в указанной статье латинские квадраты заполнены числами от 1 до 22. Я буду придерживаться традиционного заполнения латинских квадратов порядка n числами от 0 до n - 1.

 

Обратите внимание: в каждом латинском квадрате этой группы в одной из главных диагоналей стоит тождественная перестановка чисел 0, 1, 2, … 21. На рис. 1 эта главная диагональ выделена.

Понятно, что из трёх взаимно ортогональных латинских квадратов можно составить 6 пар ОЛК или, что то же самое, 6 греко-латинских квадратов.

 

***

 

Итак, я рассказала о тех ОЛК, которые мне известны. Как я уже говорила, доказано существование ортогональных пар диагональных латинских квадратов любого порядка, кроме 2, 3 и 6 (см. статью “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares”). Однако таких пар я видела очень мало. Вот, например, для порядка 22 нашла пары ОЛК, но эти латинские квадраты не диагональные.

Заинтересовавшимся читателям предлагаю заняться исследованием вопроса составления диагональных ОЛК любого порядка (кроме 2, 3, 6). По этому вопросу существует несколько статей, большинство из которых относятся к 70-м годам прошлого века. Вот, например, список литературы по данной теме из указанной выше статьи:

 

              

 

 

***

 

Придумала очень простую схему составления латинских квадратов порядка n = 4k + 2. Кажется, схема работает для любого порядка данной серии. Однако построить второй латинский квадрат ортогональный данному мне не удалось.

Покажу первые латинские квадраты. Начну с минимального порядка данной серии – 6-го (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Ну, для этого латинского квадрата не надо и пытаться искать ортогональный квадрат, так как такого квадрата точно не существует. Можно попытаться построить обобщённый ортогональный квадрат, такой квадрат может существовать, а может и не существовать.

Далее на рис. 5 показан первый латинский квадрат 10-го, построенный по такой же схеме.

 

 

Рис. 5

 

И ещё покажу латинский квадрат 14-го порядка, построенный по этой схеме (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Вот такие латинские квадраты очень легко строятся по придуманной мной схеме. Но вот как строить ортогональные квадраты к этим квадратам? Если бы это удалось, то мы имели бы пару ОЛК для любого порядка n = 4k + 2 (k>1).

Следует отметить, что не к каждому латинскому квадрату (имеются в виду порядки отличные от 2 и 6) можно построить ортогональный латинский квадрат. Вот пример латинского квадрата 4-го порядка, для которого не существует ортогонального латинского квадрата (пример из статьи Stenson “Latin Squares”) [рис. 7]:

 

 

Рис. 7

 

Глава 2. МЕТОД ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ. НОВЫЕ АСПЕКТЫ

 

Как уже знают читатели, метод латинских квадратов основан на применении пары ОЛК для построения магических квадратов. Этому методу в моих работах уделено много внимания. Однако с появлением у меня новых материалов по ОЛК открылись новые интересные возможности метода латинских квадратов.

 

2.1. ВАРИАНТ МЕТОДА ДЕЛАИРА

 

Метод Делаира применяется для построения магических квадратов любого нечётного порядка n = 2k + 1. Он подробно изложен в статье “Методы построения магических квадратов”. В данном методе оба вспомогательных латинских квадрата не диагональные.

Предлагается новый вариант метода Делаира, основанный на использовании диагональных ОЛК. Начну с квадратов 5-го порядка. Возьмём следующую пару диагональных ОЛК (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Из этой пары ОЛК получаем такой магический квадрат (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Если взять вторую пару диагональных ОЛК 5-го порядка (как уже отмечалось в первой части статьи, существует всего две пары диагональных ОЛК 5-го порядка), построенный из этой пары магический квадрат будет эквивалентен магическому квадрату, построенному методом Москопула (методом коня). Квадрат на рис. 9 оригинален, то есть не эквивалентен квадрату, построенному методом коня.

Теперь возьмём пару диагональных ОЛК 7-го порядка из группы взаимно ортогональных квадратов, построенной в Maple (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

На рис. 11 показан магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК. Этот квадрат тоже эквивалентен магическому квадрату, построенному методом Москопула.

 

 

Рис. 11

 

Как уже отмечалось в первой части статьи, из приведённых нормализованных пар диагональных ОЛК можно получить целую группу подобных пар ОЛК, варьируя перестановку чисел 0, 1, 2, … n-1.

А теперь покажу другую пару диагональных ОЛК 7-го порядка. В первой части статьи было сказано, что такие пары легко составляются для любого нечётного порядка не кратного 3. Составление таких пар ОЛК подробно описано в статье

“Построение идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов” (http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm  ). На рис. 12 показана пара ОЛК, построенная в указанной статье.

 

 

Рис. 12

 

Обратите внимание: если смотреть на эти латинские квадраты как на нетрадиционные магические квадраты, они являются не просто магическими, но ещё и ассоциативными, и пандиагональными.

Из данной пары диагональных ОЛК строится идеальный магический квадрат 7-го порядка, который вы видите на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Итак, с составлением пары диагональных ОЛК и применением метода Делаира для построения магических квадратов нечётных порядков не кратных 3 всё ясно.

Для нечётных порядков, являющихся степенью числа 3, группу взаимно ортогональных латинских квадратов можно построить в Maple. В такой группе, как правило, есть диагональные латинские квадраты.

Для нечётных порядков кратных 3 и не являющихся степенью числа 3 мне неизвестны пары диагональных ОЛК.

В заключение покажу построение магического квадрата 9-го порядка описанным методом (с использованием пары диагональных ОЛК). В качестве пары ОЛК возьму следующую пару (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Эта пара взята из группы взаимно ортогональных латинских квадратов, составленной в Maple (см. в первой части статьи рис. 20).

На рис. 15 изображён магический квадрат, построенный из данной пары диагональных ОЛК. Это оригинальный магический квадрат.

 

 

Рис. 15

 

В первой части статьи говорилось, что группа из 8 взаимно ортогональных латинских квадратов 9-го порядка, составленная в Maple, содержит 6 диагональных латинских квадратов. Из 6 квадратов можно составить 15 пар диагональных ОЛК. Кроме того, из каждой нормализованной пары можно получить 9! = 362880 вариантов, варьируя перестановку чисел 0, 1, 2, … 8. Посчитайте, сколько магических квадратов можно построить данным методом. Не забудьте ещё, что первый и второй латинские квадраты при построении магического квадрата можно менять местами.

Наконец, данная группа взаимно ортогональных латинских квадратов, составленная в Maple, не единственная. В статье “Handbook of Combinatorial Design” приведено несколько таких групп. Вот одна из них:

 

    123456789    123456789    123456789    123456789    123456789    123456789    123456789    123456789

    231564897    456789123    645978312    897231564    312645978    564897231    789123456    978312645

    312645978    789123456    897231564    645978312    231564897    978312645    456789123    564897231

    456789123    312645978    978312645    564897231    789123456    645978312    231564897    897231564

    564897231    645978312    231564897    312645978    978312645    789123456    897231564    456789123

    645978312    978312645    456789123    789123456    897231564    231564897    564897231    312645978

    789123456    231564897    564897231    978312645    456789123    897231564    312645978    645978312

    897231564    564897231    789123456    456789123    645978312    312645978    978312645    231564897

    978312645    897231564    312645978    231564897    564897231    456789123    645978312    789123456

 

Примечание: латинские квадраты записаны в нетрадиционной форме, то есть с помощью чисел 1, 2, 3 … 9. Я не стала их переводить в традиционную форму записи.

 

Интересно отметить, что в этой группе тоже два не диагональных латинских квадрата, при этом не диагональные квадраты в точности совпадают с не диагональными квадратами группы, построенной в Maple. А вот все 6 диагональных латинских квадратов отличаются от диагональных квадратов первой группы.

Возьмём для примера одну пару диагональных ОЛК из данной группы (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

Построим из данной пары ОЛК магический квадрат.  Этот квадрат показан на рис. 17.

 

 

Рис. 17

 

Получился новый магический квадрат. Сравните его с магическим квадратом на рис. 15. Первые три строки в этих квадратах совпадают. А в общем это совершенно разные магические квадраты.

 

2.2. МЕТОД ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ n = 4k

 

Применение метода латинских квадратов для построения магических квадратов чётно-чётного порядка мне нигде не встречалось. В книге Ю. В. Чебракова есть метод построения совершенных квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов. Этот метод подробно изложен в статье “Метод построения совершенных квадратов с помощью обобщённых латинских квадратов” (http://www.klassikpoez.narod.ru/latsov.htm ).

Здесь будет рассмотрен метод латинских квадратов применительно к построению магических квадратов порядка n = 4k, k = 1, 2, …

 

2.2.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАР ДИАГОНАЛЬНЫХ ОЛК

 

Рассмотрение данного метода начнём с использования пар диагональных ОЛК. Как уже знают читатели, для любого порядка данной серии такие пары существуют. Правда, далеко не все они мне известны. Так что, здесь есть над чем поработать заинтересовавшимся читателям.

Начну с минимального порядка данной серии – 4. На рис. 18 показана пара диагональных ОЛК 4-го порядка.

 

 

Рис. 18

 

Магический квадрат, построенный с помощью этой пары ОЛК, изображён на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

В этом магическом квадрате есть интересное свойство: комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии квадрата.

Как уже говорилось, из данной нормализованной пары ОЛК можно получить 24 варианта подобных пар, варьируя перестановку чисел 0, 1, 2, 3. Следовательно, можно построить 24 магических квадрата, плюс ещё 24 квадрата, если поменять местами первый и второй латинские квадраты в паре ОЛК.

Перехожу к следующему порядку – 8. Для данного порядка в предыдущей части статьи представлена группа из 7 взаимно ортогональных латинских квадратов. В этой группе только один латинский квадрат не является диагональным, остальные 6 диагональные. Понятно, что из 6 квадратов можно составить 15 пар диагональных ОЛК. Все эти пары нормализованные, следовательно, из каждой пары можно получить 40320 вариантов, варьируя перестановку чисел 0, 1, … 7.

Посмотрим один пример. Пара диагональных ОЛК показана на рис. 20, магический квадрат, построенный из этой пары – на рис. 21.

 

 

Рис. 20

 

 

Рис. 21

 

Как видим, в этом магическом квадрате тоже комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии квадрата. Это свойство присуще всем магическим квадратам данной группы, так как все взаимно ортогональные латинские квадраты рассматриваемой группы обладают этим свойством.

 

Задача для читателей:

 

 

 

 

 

 

Следующий порядок – 16 – хорош тем, что является степенью числа 2. Группу взаимно ортогональных латинских квадратов можно составить в Maple. В этой группе наверняка будут диагональные латинские квадраты.

Я составила одну пару диагональных ОЛК 16-го порядка по аналогии с квадратами 8-го порядка. Вот эта пара (копирую из первой части статьи):

 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13            3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11            6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9

6 7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9            5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10           

8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7            12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3                      

10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5            15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0                      

12 13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3            10 11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5

14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1            9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6

9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6            7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8           

11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4            4 5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2            1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0            2 3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14            11 10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4

3 2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12            8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7

5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10            13 12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2

7 6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8            14 15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1

 

На рис. 22 показан магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 22

 

И опять в квадрате комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии квадрата.

Итак, как уже поняли читатели, для порядков n = 2^p, p = 2, 3, 4, … с парами диагональных ОЛК всё просто.  Для остальных порядков я пока не знаю, как составлять пары диагональных ОЛК. Буду очень благодарна, если читатели напишут мне об этом.

 

2.2.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПАР НЕ  ДИАГОНАЛЬНЫХ ОЛК

 

Как уже знают читатели, для построения магических квадратов можно использовать не только пары диагональных ОЛК. Сейчас и будут показаны такие примеры для квадратов чётно-чётного порядка.

Начну с квадратов 8-го порядка. Следующий латинский квадрат (рис. 23) я получила по аналогии с латинским квадратом 12-го порядка, который получается разложением на два ортогональных латинских квадрата знаменитого полумагического квадрата Агриппы.

 

 

Рис. 23

 

Очевидно, что этот латинский квадрат не диагональный. Однако он хорош тем, что является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 28. То есть, хотя в диагоналях этого квадрата мы не имеем набор чисел 0, 1, 2, … 7, но сумма чисел в каждой диагонали равна 28. Теперь надо найти второй латинский квадрат ортогональный данному и тоже являющийся нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 28. При разложении магического квадрата 8-го порядка, построенного по алгоритму Агриппы, на два ортогональных латинских квадрата второй латинский квадрат получается обобщённый. А нам нужен классический латинский квадрат!

Я решила данную задачу, но для немного преобразованного латинского квадрата: в латинском квадрате с рис. 23 я переставила строки. В результате получился такой латинский квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Легко видеть, что это преобразование не изменило сумм чисел в диагоналях латинского квадрата и, само собой, не изменило сумм чисел в строках и столбцах квадрата. То есть латинский квадрат по-прежнему является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 28.

Представляю второй латинский квадрат ортогональный данному (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Обратите внимание: второй латинский квадрат получается из первого перестановкой строк.

Второй латинский квадрат тоже не диагональный, но сумма чисел в каждой диагонали равна магической константе 28. Вот такую пару не диагональных ОЛК 8-го порядка мне удалось составить. Понятно, что эта пара ОЛК пригодна для построения магического квадрата. И вот этот магический квадрат 8-го порядка перед вами (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

А теперь составляю точно так же первый латинский квадрат 12-го порядка по схеме Агриппы (рис. 27). Кстати, вы уже поняли эту схему? Она очень простая! Если ещё не поняли, посмотрев на латинский квадрат 12-го порядка, обязательно поймёте.

 

 

Рис. 27

 

Легко увидеть, что этот латинский квадрат тоже не диагональный. Далее, в этом квадрате, в отличие от рассмотренного выше квадрата 8-го порядка, суммы чисел в диагоналях не равны суммам чисел в строках и столбцах квадрата, то есть он не является нетрадиционным магическим квадратом. Сумма чисел в обеих диагоналях равна 78, а сумма чисел в строках и столбцах равна 66.

Вот почему по алгоритму Агриппы получается полумагический квадрат 12-го порядка. Если разложить полумагический квадрат Агриппы на два ортогональных латинских квадрата, то первый квадрат будет как раз квадрат, показанный на рис. 27, а второй латинский квадрат является обобщённым.

Прежде чем искать второй латинский квадрат для квадрата с рис. 27, исправим диагонали в этом квадрате, то есть сделаем так, чтобы суммы чисел в диагоналях тоже были равны 66. Для этого сделаем в квадрате перестановку строк. Один из возможных вариантов показан на рис. 28.

 

 

Рис. 28

 

Итак, первый латинский квадрат построен. Он является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 66. Теперь задача состоит в построении второго латинского квадрата ортогонального данному и являющегося нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 66. Вполне возможно, что точно так же, как для квадрата 8-го порядка, эту задачу можно решить простой перестановкой строк в первом латинском квадрате. Однако наверное это утверждать нельзя. Надо проверить это предположение. Предлагаю читателям найти второй латинский квадрат.

 

Если построить по схеме Агриппы первый латинский квадрат 16-го порядка, он сразу будет нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 120, и ничего в нём не надо исправлять. Вы видите этот квадрат на рис. 29.

 

 

Рис. 29

 

Однако построение второго латинского квадрата ортогонального данному – тоже задача нерешённая. Надо писать программу перестановки строк в этом латинском квадрате (да такая программа у меня есть), но в эту программу надо ещё добавить проверку ортогональности исходного и преобразованного квадратов. И ещё неизвестно, приведёт ли простая перестановка строк в данном квадрате к построению ортогонального квадрата, как это получилось в случае квадрата 8-го порядка. Не мне кажется, что всё должно получиться. Так что, предлагаю читателям исследовать группу латинских квадратов чётно-чётного порядка, построенных по схеме Агриппы. Может быть, удастся найти общий алгоритм построения второго латинского квадрата ортогонального первому. А первый латинский квадрат, как видели читатели, составляется элементарно. Не забывайте, что второй латинский квадрат тоже должен быть классическим.

 

Я не показала здесь первый латинский квадрат 4-го порядка, построенный по схеме Агриппы. Этот квадрат получается диагональный! Смотрите его на рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

Этот латинский квадрат просто чудесный! Он не только является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 6. Этот нетрадиционный магический квадрат ещё и пандиагональный. Посмотрите: это один их латинских квадратов, показанных в паре диагональных ОЛК 4-го порядка на рис. 18. Но в этой паре второй латинский квадрат другой.

А теперь добавим к этому латинскому квадрату (рис. 30) второй латинский квадрат, который получается из первого поворотом на 90 градусов вокруг центра квадрата по часовой стрелке (рис. 31):

 

 

Рис. 31

 

Очевидно, что этот латинский квадрат, как нетрадиционный магический, тоже пандиагональный. И поэтому магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК, тоже получается пандиагональный. Вы видите этот квадрат на рис. 32.

 

 

Рис. 32

 

Это ещё один замечательный пример использования пары диагональных ОЛК для построения магического квадрата 4-го порядка, который обладает дополнительным свойством – он пандиагональный.

 

2.3. МЕТОД ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ n = 4k + 2 (k>1)

 

Применение метода латинских квадратов для построения магических квадратов порядка n = 4k + 2 мне известно только для случая нетрадиционных магических квадратов. При этом используется пара обобщённых ОЛК. Этот метод подробно изложен в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

Здесь будет рассмотрен метод латинских квадратов для построения традиционных магических квадратов указанной серии порядков. При этом латинские квадраты будут использоваться только классические.

Поскольку для n = 6 не существует пары ОЛК, то рассмотрение надо начать с порядка n = 10.

 

2.3.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ОЛК

 

Для любого порядка рассматриваемой серии, начиная с n = 10, существует пара диагональных ОЛК. Однако найти такую пару непросто. Мне пока неизвестны методы построения таких пар. Я нашла в одной статье три пары диагональных ОЛК – для n = 10. Эти пары представлены в первой части статьи. Покажу пример построения магического квадрата 10-го порядка методом латинских квадратов с использованием одной из пар диагональных ОЛК. На рис. 33 показана пара диагональных ОЛК 10-го порядка.

 

 

Рис. 33

 

Замечу, что для квадратов 10-го порядка построение магического квадрата из пары ОЛК совсем просто: греко-латинский квадрат уже является готовым магическим квадратом, правда, записанным в нетрадиционной форме, то есть он заполнен числами от 0 до 99. Покажу греко-латинский квадрат, составленный из пары ОЛК, показанной на рис. 33 (рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

Чтобы привести этот магический квадрат к традиционной форме записи, надо ко всем его элементам прибавить единицу.

Точно так же, поменяв местами латинские квадраты в паре, изображённой на рис. 33, получаем второй магический квадрат (тоже записываю его в нетрадиционной форме, то есть как греко-латинский квадрат). Смотрите этот магический квадрат на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

Получился новый магический квадрат. Сравните его с магическим квадратом, изображённым на рис. 34. Интересная связь между этими квадратами! Каждый элемент первого квадрата просто “перевёрнут”, разряд единиц стал разрядом десятков, а разряд десятков – разрядом единиц. Вот такие две интересные группы магических квадратов можно построить данным методом. Почему я говорю о группах? Потому что, как уже было сказано в первой части статьи, из каждой пары ОЛК можно получить 10! подобных пар, выполняя трансформацию тождественной перестановки чисел 0, 1, 2, … 9. В первой части статьи приведён один из вариантов пары диагональных ОЛК, полученный таким преобразованием. Копирую этот вариант (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

И вот новый магический квадрат той же группы, полученный из данной пары диагональных ОЛК, снова записываю его в виде греко-латинского квадрата (рис. 37):

 

 

Рис. 37

 

Поменяв местами латинские квадраты в паре на рис. 36, вы получите магический квадрат второй группы.

На этом демонстрация использования пар диагональных ОЛК для построения магических квадратов порядка n = 4k + 2 (k>1), заканчивается, потому что у меня нет пар диагональных ОЛК других порядков этой серии.

 

Задача для читателей:

 

 

 

 

 

 

2.3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕ ДИАГОНАЛЬНЫХ ОЛК

 

Пары не диагональных ОЛК рассматриваемой серии порядков мне удалось найти в статьях только для n = 10 и n = 22. Однако найденные мной в статьях пары ОЛК оказались не пригодны для построения магических квадратов, так как они не только не диагональные, но и суммы чисел в диагоналях не равны сумме чисел в строках и столбцах квадрата. Поэтому эти пары пригодны только для построения полумагических квадратов, о чём будет рассказано ниже.

Для порядка 10 мне удалось составить (путём многочисленных экспериментов на базе найденных пар ОЛК) свою пару не диагональных ОЛК так, что оба латинских квадрата в этой паре являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 45. Представляю эту пару на рис. 38.

 

 

Рис. 38

 

Магический квадрат, построенный из данной пары не диагональных ОЛК, представлю в традиционной форме (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Можно построить и второй магический квадрат, поменяв местами латинские квадраты в паре ОЛК на рис. 38.

В ходе эксперимента я нашла и другие пары не диагональных ОЛК, которые не являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 45 (то есть в них нет нужной суммы чисел в диагоналях), однако они пригодны для построения магических квадратов. На рис. 40 вы видите пример такой пары не диагональных ОЛК.

 

 

Рис. 40

 

Эта пара получена из пары с рис. 38 перестановкой строк. Обозначим для данной пары ОЛК: S₁ – сумма чисел в первой диагонали первого латинского квадрата, S₂ – сумма чисел во второй диагонали первого латинского квадрата, S₃, S₄ – суммы чисел в соответствующих диагоналях второго латинского квадрата. Легко увидеть, что выполняются следующие соотношения:

 

10*S₁ + S₃ + 10 = 505

10*S₂ + S₄ + 10 = 505

 

Достаточно подставить в эти равенства числовые значения сумм: S₁ = 46, S₂ = 44, S₃ = 35, S₄ = 55. А это значит, что данная пара не диагональных ОЛК пригодна для построения магического квадрата 10-го порядка. Магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК, показан на рис. 41.

 

 

Рис. 41

 

Если вы сравните этот магический квадрат с квадратом на рис. 39, то увидите, что он получается из этого квадрата точно такой же перестановкой строк, какой получена пара ОЛК с рис. 40 из пары ОЛК с рис. 38.

 

Итак, приведён первый пример, когда для построения магического квадрата используется пара не диагональных ОЛК, в которой латинские квадраты не являются нетрадиционными магическими квадратами, то есть суммы чисел в диагоналях латинских квадратов не совпадают с суммами чисел в строках и столбцах; другими словами: суммы чисел в диагоналях латинских квадратов не равны сумме чисел 0, 1, 2, … n-1. Однако эта пара ОЛК пригодна для построения магического квадрата. Понятно, что далеко не любая пара не диагональных ОЛК обладает таким свойством. Посмотрим, например, на греко-латинский квадрат Паркера (рис. 42):

 

 

Рис. 42

 

Перед нами готовый полумагический квадрат 10-го порядка. Если разложить этот греко-латинский квадрат на пару ОЛК, то в латинских квадратах этой пары имеем: S₁ = 45, S₂ =37, S₃ = 42, S₄ = 41. Очевидно, что приведённые выше соотношения в данном случае не выполняются, поэтому и квадрат, построенный из этой пары, получается полумагический.

Можно ли получить из пары ОЛК Паркера такую пару ОЛК, которая пригодна для построения магического квадрата? Я делаю это так: беру полумагический квадрат, построенный из пары ОЛК Паркера, ввожу его в программу перестановки строк, которая находит магические квадраты, если таковые получаются перестановкой строк из исходного полумагического квадрата. Найдя хотя бы один магический квадрат, раскладываю его на два ортогональных латинских квадрата, и нужная пара ОЛК найдена.

Выполняю эксперимент. Программа перестановки строк довольно быстро выдаёт магический квадрат, который вы видите на рис. 43. Прерываю программу, потому что мне достаточно одного магического квадрата.

 

 

Рис. 43

 

Таким образом, переставив строки в греко-латинском квадрате Паркера, я получаю пару не диагональных ОЛК, пригодную для построения магического квадрата. Покажу эту пару на рис. 44 (напомню, что она получается разложением магического квадрата с рис 43 на два ортогональных латинских квадрата).

 

 

Рис. 44

 

В этой паре ОЛК имеем: S₁ = 46, S₂ = 45, S₃ = 35, S₄ = 45. Очевидно, что приведённые выше соотношения в данном случае выполняются. Поэтому и квадрат, построенный из этой пары ОЛК, получается магический.

Вы видите ещё один пример использования пары не диагональных ОЛК 10-го порядка, в которой латинские квадраты не являются нетрадиционными магическими квадратами.

Итак, греко-латинский квадрат Паркера – всего лишь полумагический квадрат 10-го порядка, греко-латинский квадрат, составленный из пары ОЛК с рис. 44, – магический квадрат. Для получения такого результата в греко-латинском квадрате Паркера надо просто переставить строки.

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty2.htm

 

28 - 31 декабря 2008 г. – 1 января 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу