Н. Макарова

ПОСТРОЕНИЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПО РЕШЁТКАМ РОССЕРА

В [1] рассказано о методе Россера для построения нетрадиционных пандиагональных квадратов простых порядков с использованием примитивных квадратов. Здесь расскажу о втором замечательном методе Россера. Это в некотором роде метод составных квадратов.  Подробно с теорией метода можно познакомиться в статье Россера [2]. В моих предыдущих статьях были показаны примеры применения этого метода, смотрите, например, [3].

Первый квадрат этим методом был построен из простых чисел для порядка 8. Для построения этого квадрат найдено 4 пандиагональных квадрата 4-го порядка с одинаковой магической константой. Понятно, что все числа в этих квадратах должны быть различны. Покажу этот пандиагональный квадрат (рис. 1).

Рис. 1

На рисунке хорошо видны решётки Россера, каждая решётка окрашена своим цветом. В одной решётке располагается один квадрат 4-го порядка.

Все пандиагональные квадраты 8-го порядка, построенные данным методом, можно превратить в ассоциативные квадраты с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов. На рис. 2 изображён ассоциативный квадрат, полученный из квадрата с рис. 1.

Рис. 2

Пандиагональный квадрат 9-го порядка нельзя построить данным методом, так как не существует пандиагональных квадратов 3-го порядка.

Теперь расскажу о построении пандиагональных квадратов 10-го порядка. Для этого квадрата надо построить 4 пандиагональных квадрата 5-го порядка с одинаковой магической константой, составленных из различных чисел. Пандиагональные квадраты 5-го порядка из простых чисел строить очень легко с помощью применения примитивных квадратов. Однако найти 4 квадрата с одинаковой магической константой, чтобы все квадраты были составлены из различных чисел, не так просто.

Самый первый квадрат 10-го порядка из простых чисел, который мне удалось построить этим методом, имеет магическую константу 12154. На рис. 3 представлен этот квадрат. Пандиагональные квадраты 5-го порядка, из которых он составлен, имеют магическую константу 6077.

Рис. 3

Затем я немного улучшила первый результат, построив пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел с магической константой 6998. На рис. 4 показаны пандиагональные квадраты 5-го порядка с магической константой 3499.

Рис. 4

На рис. 5 вы видите пандиагональный квадрат 10-го порядка, составленный из этих пандиагональных квадратов 5-го порядка.

Рис. 5

Лучший результат для данного порядка получен В. Павловским. Он построил пандиагональный квадрат из простых чисел с магической константой 3594 (выложен на форуме dxdy.ru [4]). Смотрите этот квадрат на рис. 6.

Рис. 6. Пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел В. Павловского

Улучшить результат, полученный Павловским, пока не удалось. Получено несколько наборов по 3 пандиагональных квадрата 5-го порядка с одинаковой магической константой, а найти четвёртый квадрат не удаётся. Вот, например, три примитивных квадрата 5-го порядка, дающие пандиагональные квадраты с магической константой 1579 (рис. 7).

Рис. 7

Как превращать примитивные квадраты в пандиагональные, рассказано в [1].

Ещё один пример, на рис. 8 представлены пандиагональные квадраты 5-го порядка из простых чисел с магической константой 1765.

Рис. 8

Предполагаю, что существует пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел с меньшей магической константой, чем полученная В. Павловским.

Павловский выложил на форуме набор трёх примитивных квадратов 5-го порядка, дающих пандиагональные квадраты с магической константой 1599. Он сообщил, что наборов по 3 квадрата получается довольно много. Это примитивные квадраты Павловского:

http://dxdy.ru/post348126.html#p348126  

  29        47      179     257     389

  41        59      191     269     401

 131     149     281     359     491

 293     311     443     521     653

 349     367     499     577     709

   7         13        19      157     967

  31        37        43      181     991

  61        67        73      211     1021

 271     277     283     421     1231

 101     107     113     251     1061

  79        97      163     199     379

 109     127     193     229     409

 313     331     397     433     613

 523     541     607     643     823

  53        71      137     173     353

Предлагаю читателям попробовать решить эту задачу.

Перехожу к пандиагональным квадратам 12-го порядка из простых чисел. Первый такой квадрат я построила с магической константой 13860 (рис. 9). Этот квадрат построен из девяти пандиагональных квадратов 4-го порядка с магической константой 4620.

Рис. 9

Затем, когда написала улучшенный вариант программы для построения пандиагональных квадратов 6-го порядка, построила по этой программе четыре квадрата с магической константой 4410. Эти пандиагональные квадраты показаны на рис. 10.

Рис. 10

На рис. 11 изображён пандиагональный квадрат 12-го порядка, составленный из этих квадратов. Магическая константа квадрата равна 8820. Важно отметить, что пандиагональные квадраты 6-го порядка построены из комплементарных пар чисел (в отличие от пандиагональных квадратов 4-го порядка пандиагональные квадраты 6-го порядка могут быть построены и не из комплементарных чисел).

Это даёт возможность превратить построенный пандиагональный квадрат 12-го порядка в ассоциативный квадрат с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов.

Рис. 11. Пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел (S = 8820)

На рис. 12 вы видите ассоциативный квадрат, полученный из пандиагонального квадрата с рис. 11.

Рис. 12. Ассоциативный квадрат 12-го порядка из простых чисел (S = 8820)

Для построения пандиагонального квадрата 14-го порядка надо найти четыре пандиагональных квадрата 7-го порядка с одинаковой магической константой. Я пока не решала эту задачу, хотя программа построения пандиагональных квадратов 7-го порядка с применением примитивных квадратов работает довольно сносно. Мне даже удалось по этой программе улучшить результат Павловского для пандиагонального квадрата 7-го порядка (см. [1]).

Пандиагональный квадрат 15-го порядка из простых чисел мне удалось построить с магической константой 18231. Квадраты 5-го порядка имеют магическую константу 6077. На рис. 13 показан этот квадрат.

Рис. 13. Пандиагональный квадрат 15-го порядка из простых чисел (S = 18231)

Восемь квадратов 5-го порядка для этого квадрата были найдены давно. Последний девятый квадрат построен только что по новой программе. Этот квадрат расположен в белой решётке.

В [3] описано построение рассматриваемым методом пандиагонального квадрата 12-го порядка из чисел Смита (магическая константа равна 4080072) и пандиагонального квадрата 16-го порядка из простых чисел (магическая константа равна 48048). Есть в этой статье и пандиагональный квадрат 8-го порядка из чисел Смита. Не буду дублировать здесь эти квадраты.

Следующий квадрат мне удалось построить для порядка 18 из простых чисел. Для этого найдено девять пандиагональных квадратов 6-го порядка с магической константой 18018. Тут оказался интересным такой момент. С константой комплементарности равной 6006 существует 195 комплементарных пар чисел. Однако ни один пандиагональный квадрат 6-го порядка из таких пар у меня почему-то не построился. Существуют ли такие пандиагональные квадраты? Пришлось строить квадраты не с нулевыми отклонениями от комплементарности. Это несколько сложнее, тем не менее, квадраты построены. Найдено даже 16 квадратов, что дало возможность построить также пандиагональный квадрат 24-го порядка из простых чисел.

Сначала покажу все 16 пандиагональных квадратов: